1. Se valorarán positivamente las explicaciones claras y precisas, cuando sean necesarias, y negativamente la ausencia de explicaciones necesarias o su incorrección, pudiendo disminuir en tal caso la puntuación máxima hasta un 20%.

2. En la valoración de los errores de cálculo y en los fallos de notación debe diferenciarse entre los errores aislados y aquellos otros más sistemáticos o de mayor importancia que reflejen problemas de aprendizaje. En este sentido, la valoración de los errores aislados no podrá disminuir la calificación máxima del correspondiente apartado en más de un 20%.

3. Si un alumno comete un error de cálculo que tiene relación con apartados de la misma pregunta, se otorgará a los restantes la máxima puntuación prevista cuando hayan sido desarrollados con total corrección a partir del resultado erróneo.

4. Se concederá especial importancia a la precisión en las respuestas a cada una de las preguntas planteadas. En tal sentido, la falta de claridad conllevará una disminución de la puntuación máxima de hasta un 20%, aunque el planteamiento y los cálculos sean correctos.

CALIFICACIÓN: La puntuación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo.

a) Discutir e interpretar geométricamente el siguiente sistema según los valores de m:

b) Resolverlo si m = 3.

Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2,5 puntos)

La función

c(t) = 144t^-1/3 + 100

proporciona los costes de fabricación por unidad para un determinado producto en función del tiempo, donde c(t) denota los costes en Pta./unidad, y t indica el tiempo transcurrido, medido en meses.

Por otra parte, se estima que el precio de venta por unidad del producto anterior va a variar de la forma indicada a continuación:

p(t) = 300 - 3t

donde p(t) es el precio en Pta./unidad, y t denota el tiempo transcurrido, medido en meses. a) Determinar la expresión algebraica de la función b(t) que proporciona los beneficios totales, suponiendo que las ventas mensuales son constantes e iguales a 100.000 unidades.

b) ¿Al cabo de cuántos meses se alcanza el beneficio total máximo?

Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2,5 puntos)

Para realizar un control de calidad de un producto se examinan 3 unidades del producto, extraídas al azar (y sin reemplazamiento) de un lote de 100 unidades.

Las unidades pueden tener defectos de dos tipos, A y B. Si en el lote de 100 unidades existen 10 unidades con defectos del tipo A únicamente, 8 unidades con defectos del tipo B únicamente, y 2 unidades con ambos tipos de defecto, se desea determinar la probabilidad de que en la muestra de tres unidades extraídas se obtengan en total:

a) Cero defectos.

b) Una unidad con defecto del tipo A y otra con defecto del tipo B, o bien, una unidad con ambos tipos de defecto.

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2,5 puntos)

Un cierto programa de televisión se emite una vez por semana. El valor medio de la muestra de los valores de la audiencia en las últimas diez semanas ha sido de 3.250.000 hogares. Suponiendo que el número de hogares que ven el programa en una semana cualquiera sigue una distribución normal con valor medio 3.750.000 hogares y desviación típica igual a 500.000, ¿podemos asegurar con un nivel de confianza del 95% que en las últimas diez semanas no se ha producido un descenso en la audiencia media?.

Se desea dotar de un sistema de calefacción a un edificio, y para ello se consideran las posibilidades siguientes: instalar una caldera de gas, instalar paneles solares, o una combinación de ambas alternativas.

Con esta instalación se quieren atender unas necesidades mínimas de calefacción de 900 Kcal./h., y unas necesidades mínimas de agua caliente de 400 Kcal./h. Por cada unidad de capacidad instalada de caldera de gas y paneles solares se puede hacer frente a las siguientes necesidades (medidas en Kcal./h.):

Los costes de instalación por unidad son de 20.000 Pta. para la caldera de gas, y de 10.000 Pta. para los paneles solares. Por limitaciones de espacio, no pueden instalarse más de 200 unidades de paneles solares.

Se pide determinar el número de unidades de caldera de gas y de paneles solares que una vez instaladas hacen frente a las necesidades anteriores con el menor coste de instalación posible.

Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2,5 puntos)

La función de costes por unidad de tiempo asociada con los inventarios en unos almacenes viene dada por

donde x indica el tamaño de los pedidos para renovar existencias, y c(x) se mide en millones de pesetas por año. Se pide calcular:

a) El tamaño de los pedidos que hace que c(x) alcance su valor mínimo, así como dicho valor.

b) Las ecuaciones de las asíntotas de la función c(x).

Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2,5 puntos)

El tiempo necesario para fabricar una unidad de un determinado producto disminuye a un ritmo dado por la expresión:

r(t) = 180t^-2

donde t es el tiempo transcurrido en meses, y r(t) se mide en minutos/mes.

a) ¿En cuántos minutos disminuye el tiempo de fabricación entre los meses 2 y 4?

b) Si en t = 1 el tiempo de fabricación es de 200 minutos, ¿cuánto tiempo se tarda en fabricar una unidad de producto al cabo de 6 meses?

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos)

En un supermercado se ha estudiado el número de clientes que compran tres productos, A, B, y C. Del estudio se ha obtenido que un 14% de los clientes compra el producto A y un 12% compra el producto B. Además, un 4% compra A y B, un 2% compra A y C y ningún cliente que compre C compra también B.

a) ¿Cuántos clientes compran únicamente el producto B?

b) Sabiendo que un cliente ha comprado A, ¿cuál es la probabilidad de que también haya comprado C, pero no B?

El examen presenta dos opciones A y B. El alumno deberá elegir una de ellas y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción. Para la realización de esta prueba puede utilizarse calculadora científica.

CALIFICACIÓN: La puntuación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo.

Sea un triángulo de vértices A (1,a), B (5, b) y C (3, c). Se sabe que las ordenadas de sus tres vértices suman 9, que la ordenada b es la media aritmética de las otras dos, y que b y c son número naturales consecutivos, siendo c > b.

a) Calcular a, b y c.

b) Si el triángulo anterior representa para a = 1, b = 2 y c = 6, la frontera de la región factible correspondiente a un problema de programación lineal con función objetivo f (x, y) = 2x + y, determinar razonadamente los puntos en los que dicha función alcanza su valor máximo.

Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2,5 puntos)

El número de enfermos por gripe en una ciudad a lo largo del pasado mes de Enero ha venido dado por la función

y(t) = 100 + 200 e^0,2t,

donde t representa el número de días transcurridos a partir del 1 de Enero de 1996.

a) ¿Cuántos enfermos había el citado día 1 de Enero?

b) Calcular la expresión algebraica de la función que representa la velocidad de evolución del número de enfermos al cabo de t días.

c) Determinar la fecha en la cual la velocidad de evolución del número de enfermos ha sido igual a 803,42 enfermos/día.

Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 1,5 puntos)

El valor de un equipo informático decrece a un ritmo dado por (10t - 50) miles de Pta./año. Si el valor inicial del citado equipo era de 300.000 Pta., ¿cuál será su valor al cabo de 5 años?.

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)

Se realiza la experiencia compuesta consistente en lanzar al aire un dado y a continuación introducir una nueva bola en una urna que contiene 2 bolas blancas y 4 negras, de modo que si el número obtenido en el dado es par, se introduce en la urna una bola blanca, y si es impar, una bola negra.

a) Calcular la probabilidad de obtener, al azar, bolas blancas al realizar dos extracciones sucesivas y sin reemplazamiento de la urna, sabiendo que al lanzar el dado hemos obtenido un número par.

b) Si se sacan simultáneamente dos bolas al azar de la urna después de haber lanzado el dado, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas?

Sean las matrices

y

a) Calcular las matrices C y D, sabiendo que AC = BD = I, siendo I la matriz identidad de orden dos.

b) Discutir y resolver el sistema dado por:

(C^-1 - D^-1)

Siendo C^-1 y - D^-1 las matrices inversas de las matrices C y D indicadas en el apartado anterior.

Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Sea la función y = 2x³ - 3x² + x. Calcular el área del recinto limitado por dicha función y la función y = 0.

Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2,5 puntos)

Se quiere cercar un campo rectangular mediante una valla, aprovechando un muro ya existente. Se sabe que la valla del lado opuesto al muro cuesta 300 pta. por metro y la de los otros dos lados 100 Pta. por cada metro. Si el presupuesto disponible es de 300.000 Pta., hallar el área del mayor recinto que puede cercarse.

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)

Una empresa de productos farmacéuticos afirma en su publicidad que uno de sus medicamentos reduce considerablemente los síntomas de la alergia primaveral en el 90% de la población. Una asociación de consumidores ha experimentado dicho fármaco en una muestra de 200 socios de la misma, obteniendo el resultado indicado en la publicidad en 170 personas. Determinar si la asociación de consumidores puede considerar que la afirmación de la empresa es estadísticamente correcta al nivel de significación del 0,05.

El examen presenta dos opciones A y B. El alumno deberá elegir una de ellas y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción. Para la realización de esta prueba puede utilizarse calculadora científica.

CALIFICACIÓN:

La puntuación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo.

En una acería se fabrican tres tipos de productos: acero en láminas, en rollos o aceros especiales. Estos productos requieren chatarra, carbón y aleaciones en las cantidades que se indican en la tabla siguiente, por cada unidad de producto fabricado.

a) Si durante el próximo mes se desean fabricar 6 unidades de acero en láminas, 4 unidades de acero en rollos y 3 unidades de aceros especiales, obtener una matriz que indique las cantidades de chatarra, carbón y aleaciones que serán necesarias.

b) Si se dispone de 34 unidades de chatarra, 28 de carbón y 9 de aleaciones, ¿cuántas unidades de cada tipo de acero se podrán fabricar con estos materiales?

Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Para la función

a) Estudiar razonadamente su continuidad en  .

b) Hallar la ecuación de la recta tangente a dicha función cuando x = -2.

Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Calcular el área del recinto limitado por

y = e^-2x, x = -3, x = -1

y el eje de abscisas.

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)

Tras un estudio realizado sobre los taxistas de una ciudad española, se ha observado que el 70% tiene más de 40 años y de éstos el 60% es propietario del vehículo que conduce. También se ha averiguado que el porcentaje de taxistas que, no superando los 40 años, es propietario del vehículo que conduce se reduce al 30%. Se pide:

a) La probabilidad de que un taxista, elegido al azar, sea propietario del vehículo que conduce.

b) Se elige un taxista al azar, y se comprueba que es propietario del vehículo que conduce, ¿cuál es la probabilidad de que tenga más de 40 años?

Un hipermercado necesita como mínimo 16 cajas de langostinos, 5 cajas de nécoras y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades, pero sólo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras y 2 de percebes. Por su parte, B envía en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas, respectivamente. Cada contenedor que suministra A cuesta 210.000 Pta., mientras que los del mayorista B cuestan 300.000 Pta. cada uno, ¿cuántos contenedores debe pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mínimas con el menor coste posible?

Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Sea la función

y = 1/12 x⁴ + 1/6 x³ + 1/2 x²

a) Analizar sus puntos de inflexión en  .

b) Analizar su máximo absoluto en  .

Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Sean A y B sucesos asociados a un experimento aleatorio. Sabiendo que P(A) = 1/3, P(B) = 1/5 y P (AÈ B) = 7/15, hallar:

a) La probabilidad de que se verifiquen A y B.

b) La probabilidad de que se verifique A y no B.

c) La probabilidad d que no se verifiquen ni A ni B.

d) La probabilidad de que no se verifique A si no se ha verificado B.

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 3 puntos)

Se realizan 64 lanzamientos de un dado. ¿Cuántos cincos debemos obtener, como mínimo y como máximo, para aceptar que el dado no está trucado con un nivel de confianza del 95%?