El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las opciones (A ó B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros ejercicios de la otra opción. En cualquier caso, la calificación se hará sobre lo respondido a una de las dos opciones.

CALIFICACIÓN: Total máxima: 10 puntos.

Estudiar la derivabilidad de la función

Ejercicio 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

Sea f(x) una función para la que se verifica que

¿Se verifica entonces que

Si la respuesta es afirmativa justifíquese; si es negativa, póngase un contraejemplo.

Ejercicio 3. (Calificación máxima: 3 puntos)

Resolver la ecuación:

Ejercicio 4. (Calificación máxima: 3 puntos)

Sea OAB un triángulo rectángulo en O, con y . Sobre los lados de OA y OB (o sobre sus prolongaciones) se toman dos puntos P y Q, respectivamente. Estos puntos P y Q varían verificándose que . Hallar el lugar geométrico que describe el punto M de intersección de las rectas AQ y PB.

(Indicación: Elegir unos ejes coordenados ad hoc)

Un foco luminoso se encuentra en el punto P(3,3,1) y una varilla ocupa la posición de la recta

La varilla arroja una sombra sobre el plano
Hallar el punto de esta sombra que está en el plano .

Ejercicio 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

Un barco navega recorriendo el paralelo de latitud 60º norte, hacia el oeste. En el momento inicial está en el punto A de longitud 5º oeste y en el momento final está en el punto B de longitud 43º oeste. Hallar la distancia d recorrida por el barco.

(Tomar como valor del radio de la Tierra 6.371 km.)

Ejercicio 3. (Calificación máxima: 3 puntos)

Sea la función

a) Estudiar el dominio, las asíntotas, los posibles puntos de máximo y de mínimo y hacer un dibujo aproximado de la gráfica de la función.

b) Calcular el área limitada por la gráfica de la función f(x), el eje de abscisas y las rectas x = 1 y x = e.

Ejercicio 4. (Calificación máxima: 3 puntos)

Sea la matriz A =

Hallar razonadamente la matriz Aⁿ donde n es un número natural cualquiera.

El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las opciones (A ó B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros ejercicios de la otra opción. En cualquier caso, la calificación se hará sobre lo respondido a una de las dos opciones.

CALIFICACIÓN: Total máxima: 10 puntos.

Señalar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas razonando las respuestas.

1ª. Si los puntos A, B, C y D pertenecen a un mismo plano, entonces los vectores son linealmente independientes.

2ª. Sean las determinaciones lineales de dos rectas r y r’. Si los vectores son linealmente dependientes, entonces las rectas r y r’ son coplanarias.

Ejercicio 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

Obtener el determinante D en función de D₁, siendo

Ejercicio 3. (Calificación máxima: 3 puntos)

En la perforación de un cierto pozo, se sabe que el coste de la extracción del metro cuadrado de tierra a una profundidad de x metros es proporcional a x^a, para un cierto número a > 1. Llamaremos C(x) al coste de la extracción de tierra del pozo, desde la superficie hasta la profundidad de x metros. Sabiendo que se pide:

1º. Hallar a

2º. Hallar la profundidad h para la que C(h) = 128 C(1)

Ejercicio 4. (Calificación máxima: 3 puntos)

Se consideran dos varillas AB y MN rígidamente unidas perpendicularmente en M, que es el punto medio de AB. Las longitudes de las varillas son Se dibujan dos rectas perpendiculares en el suelo (plano) y se desplazan las varillas sobre él de modo que A recorra una de dichas rectas, B recorra la otra y el extremo N quede a distinto lado de AB que el punto donde se cortan las rectas. Hallar el lugar geométrico que describe el extremo N.

De las siguientes propiedades de la dependencia lineal, decir cuál o cuáles son ciertas, justificando la respuesta:

1º. Un conjunto de vectores con dos o más vectores iguales no es linealmente dependiente.

2º. En R³, si tres vectores son linealmente dependientes, entonces son coplanarios.

3º. Si en un conjunto de vectores está el vector 0 entonces el conjunto es linealmente dependiente.

Ejercicio 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

Sean A y M las siguientes matrices:

Determinar las relaciones entre a, b, c y d para que se cumpla AM = MA.

Ejercicio 3. (Calificación máxima: 3 puntos)

Sea f : R ® R una función derivable en R, sean a y b dos raíces de la derivada f’(x) tales que entre ellas no hay ninguna otra raíz de f’(x). Razonar debidamente si puede ocurrir cada una de las siguientes posibilidades:

1º. Entre a y b no existe ninguna raíz de f(x)

2º. Entre a y b existe una sola raíz de f(x)

3º. Entre a y b existen dos o más raíces de f(x)

Ejercicio 4. (Calificación máxima: 3 puntos)

Dos varillas fijas AA’ y BB’, de espesor despreciable, están entrelazadas por una goma elástica (del modo que se índica en la figura adjunta).

La goma que está tensa, puede deslizar libremente por las varillas (sin rozamiento). Se sabe que las varillas ocupan las posiciones (en ejes cartesianos rectangulares xyz):

1º. ¿Qué posiciones relativas tienen las rectas AA’ y BB’?

2º. Hallar la longitud total de la goma elástica en su posición de equilibrio.

El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las opciones (A ó B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros ejercicios de la otra opción. En cualquier caso, la calificación se hará sobre lo respondido a una de las dos opciones.

CALIFICACIÓN: Total máxima: 10 puntos.

¿Hay alguna función ¦ (x) que no tenga límite cuando x ® 2 y que, sin embargo, [¦ (x)]² sí tenga límite cuando x ® 2? Si la respuesta es afirmativa, póngase un ejemplo, si es negativa, justifíquese.

Ejercicio 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

Sea ¦ (x) una función tal que, para cualquiera que sea x > 0 se cumple que

Pruébese que, entonces, se verifica que ¦ (-x) = -¦ (x) para todo x > 0

Ejercicio 3. (Calificación máxima: 3 puntos)

Discutir, según los valores de m, el sistema de ecuaciones lineales:

Ejercicio 4. (Calificación máxima: 3 puntos)

Se consideran dos puntos fijos A (1, -2) y B(-1, 2) y otros dos puntos P y Q sobre los ejes coordenados (véase la figura adjunta), que varían de manera que Hallar el lugar geométrico que describe el punto M, en el que se cortan las rectas variables AP y BQ.

Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonal si se verifica que AA^t = I donde A^t es la matriz traspuesta de A; I es la matriz identidad. Si A y B son dos matrices ortogonales de igual tamaño, analizar si AB es una matriz ortogonal.

Ejercicio 2. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se considera un sistema S de m ecuaciones lineales con n incógnitas, que es compatible determinado. Sea S’ el sistema que resulta de prescindir en S de la última ecuación. Contesta de forma razonada:

a) ¿Puede ser incompatible el sistema S’?

b) ¿Es compatible el sistema S’?

c) ¿Ha de ser compatible indeterminado el sistema S’?

Ejercicio 3. (Calificación máxima: 3 puntos)

Sea la función ¦ (x) = x½ x - 1½ Se pide:

a) Hacer un dibujo aproximado de la gráfica de la función.

b) Estudiar la derivabilidad de la función en x = 1

c) Calcular el área limitada por la gráfica de la función ¦ (x), el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = 1

Ejercicio 4. (Calificación máxima: 3 puntos)

Los rayos del Sol descienden según la dirección y el sentido del vector (- 5,- 1), en el plano XOY. En el punto A(1, 0) se sitúa un pequeño espejo plano de manera que el rayo del Sol que llega a A, tras reflejarse en el espejo, pasa por el punto B(0, 3).Hallar la ecuación de la recta sobre la que se asienta el espejo.