El alumno deberá escoger uno de los dos repertorios presentados en la prueba. No deberá contestar a unas partes de un repertorio y a otras del otro; En todo caso se calificará sobre lo respondido a uno de los repertorios.

Cada repertorio consta de cinco cuestiones. Se calificarán de forma independiente cada una de ellas, asignándoles de 0 a 2 puntos. La calificación de cada una de las cuestiones se hará de forma global aunque consten de varias preguntas, dado que un razonamiento correcto unido a un pequeño error de cálculo puede dar lugar a respuestas erróneas y por otra parte, pueden aparecer respuestas acertadas sin un razonamiento que las justifique. Se otorgará la calificación de 2 puntos al ejercicio propio de un alumno sobresaliente, la de 1,5 a un ejercicio correcto pero al que se le puedan poner objeciones, 1 a un ejercicio incompleto pero medianamente aceptable, 0,5 a los que presenten omisiones y errores importantes y 0 si la respuesta es totalmente errónea o está omitida.

La calificación del ejercicio se obtendrá sumando las puntuaciones de las cinco cuestiones.

El alumno desarrollará uno de los dos repertorios siguientes, y dará respuestas claras y concisas a cada una de las cinco cuestiones. El repertorio elegido debe figurar al principio del ejercicio.

CALIFICACIÓN:

La calificación máxima de cada uno de los cinco ejercicios será de 2 puntos.

2. Calcular la integral

3. Discutir el siguiente sistema según los valores de l , y resolverlo cuando sea posible

4. Determinar los valores de los parámetros a y b, para que las rectas

5. Se toman tres cartas de una baraja de cuarenta (cuatro palos numerados de uno al diez). Hallar la probabilidad de que salga el as de oros.

Calcular F’(x).

2. Estudiar para qué valores de a las funciones

son continuas.

3. Determinar para qué valores del parámetro l, los siguientes sistemas tienen el mismo conjunto de soluciones:

4. Determinar un punto P de la recta r : que equidiste de los planos

p : x + y + z = -3, y s :

5. Se lanza una moneda equilibrada. Si sale cara, se sigue el juego sacando una bola de una bolsa que contiene 12 bolas numeradas del uno al doce y si sale cruz, se saca una bola de otra bolsa que contiene cuatro bolas numeradas del uno al cuatro.

a) Describir el espacio muestral que expresa todos los posibles resultados de lanzar la moneda y sacar la bola de la bolsa correspondiente.

b) Hallar la probabilidad de que en la bola extraída figure un número par o mayor que cuatro.

El alumno desarrollará uno de los dos repertorios siguientes, y dará respuestas claras y concisas a cada una de las cinco cuestiones. El repertorio elegido debe figurar al principio del ejercicio.

CALIFICACIÓN:

La calificación máxima de cada uno de los cinco ejercicios será de 2 puntos.

Determinar la matriz inversa de A y la matriz A⁸.

2. Calcular las ecuaciones de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas:

y es perpendicular a ambas.

3. Calcular:

en los siguientes casos:

a) si m > n.

b) si m = n.

si m < n.

4. Encontrar un número a > 1 para que el área limitada por la curva , el eje de abscisas y las rectas x = 1 y x = a sea 9.

5. La urna A contiene cuatro bolas blancas y dos negras y en la urna B hay dos bolas blancas y cinco negras. Se toma al azar una bola de A y, sin mirarla, se introduce en B. A continuación se extraen sin reemplazamiento dos bolas de B. Hallar la probabilidad de que ambas sean blancas.

Probar que las rectas y son paralelas. Determinar la ecuación del plano

2. Discutir según los valores de l el sistema de ecuaciones

3. Demostrar que la función es derivable y que su función derivada f’ es continua.

4. Encontrar el volumen de la figura que se obtiene girando la gráfica de la función en torno al eje X, en el intervalo [-2, 2].

5. Tenemos un dado cargado en el que los números pares tienen doble probabilidad de salir que los impares. Calcular la probabilidad de que, al lanzarlo, la puntuación obtenida sea mayor o igual que cuatro.

El alumno desarrollará uno de los dos repertorios siguientes, y dará respuestas claras y concisas a cada una de las cinco cuestiones. El repertorio elegido debe figurar al principio del ejercicio.

CALIFICACIÓN:

La calificación máxima de cada uno de los cinco ejercicios será de 2 puntos.

2. Determinar, en función del parámetro l , la posición relativa de las rectas:

3. Calcular el valor de la integral definida

4. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la siguiente función definida en la recta real por

5. Una persona tiene un despertador que suena con probabilidad 0,9. Si suena, se despertará con probabilidad 0,7 y llegará puntual al trabajo. Si no suena, se despertará a tiempo para llegar puntual al trabajo con probabilidad 0,3.

1. Calcular la probabilidad de que llegue puntual al trabajo
2. Calcular la probabilidad de que no haya sonado el despertador, si se sabe que ha llegado puntual al trabajo.

2. Determinar el valor del parámetro l para el que existe una recta s que pasa por el punto P = (1 + l , 1 – l , l ), corta a la recta y es paralela a

3. Se considera la función

Calcular su máximo, justificando la respuesta.

4. Se toman cuatro cartas de una baraja de cuarenta (cuatro palos numerados del uno al diez). Hallar la probabilidad de que sean de números distintos.

5. Calcular el límite

El alumno desarrollará uno de los dos repertorios siguientes, y dará respuestas claras y concisas a cada una de las cinco cuestiones. El repertorio elegido debe figurar al principio del ejercicio.

CALIFICACIÓN:

La calificación máxima de cada uno de los cinco ejercicios será de 2 puntos.

Dada la matriz A =determinar todas las matrices no nulasque verifican la igualdad AX =

2. Calcular el valor del parámetro a para que las rectas

r:

s:

sean coplanarias.

3. Representar la gráfica de la siguiente función:

estudiando máximos, mínimos, asíntotas, puntos de inflexión, concavidad y convexidad.

4. Sea

Calcular F’(x).

5. Se toman sin reemplazamiento tres cartas de una baraja de cuarenta (cuatro palos numerados del uno al diez). Hallar la probabilidad de que salga el as de oros.

Determinar todas las matrices A= tales que su inversa sea 2I- A, donde I =

2. Hallar el punto de la recta x = -2y = -2z cuya distancia al origen es el doble que su distancia a la recta

3. Sea f una función continua y derivable tal que f(0) = 3. Calcular cuánto tiene que valer f(5) para asegurar que en [0,5] existe una c tal que f’(c) = 8.

4. Calcular la integral

5. Sabiendo que P(a) = 0,4, P(B) = 0,5 y P (AB) = 0,3, calcular las probabilidades de:

(a) A^cB

(b) A^cB^c

(c) A^cB^c

donde A^c representa el suceso contrario (o complementario) de A.

El alumno desarrollará uno de los dos repertorios siguientes, y dará respuestas claras y concisas a cada una de las cinco cuestiones. El repertorio elegido debe figurar al principio del ejercicio.

CALIFICACIÓN:

La calificación máxima de cada uno de los cinco ejercicios será de 2 puntos.

2. Dadas las rectas

determinar las ecuaciones de la recta s que corta a r y a r’ y es paralela a r’’ : x = y = z.

3. Calcular la integral

4. Dada la función p(x) = ax³ + bx² + cx + d, determinar el valor o valores de los parámetros a, b, c y d para que dicha función tenga un mínimo relativo en (0,1) y un máximo relativo en x = 2 y probar que todas tienen un punto de inflexión con la misma abscisa.

5. Se toman sin reemplazamiento tres cartas de una baraja de 40 (cuatro palos numerados del 1 al 10). Hallar la probabilidad de que las cartas extraídas sean de tres palos distintos.

coincida con su opuesta

2. Determinar los puntos de la recta r: que equidistan de los planos p : x = 1 y s : y = 3.

3. Calcular los siguientes límites:

4. Sea f(x) = 3 + x⁵(x - 3)⁴. Probar que la función derivada f’(x) posee al menos una raíz en el intervalo abierto (0,3).

5. Un opositor se presenta a un ejercicio oral en el que, para superarlo, debe contestar correctamente al menos a dos de los tres temas que se le proponen. Cada tema propuesto se extra al azar. El primero de un grupo de 40, el segundo de uno de 50 y el tercero de uno de 60. Sabiendo que un opositor que ha superado la prueba no preparó 10 temas de cada grupo, ¿cuál es la probabilidad de que haya contestado un tema del primer grupo?.

El alumno desarrollará uno de los dos repertorios siguientes, y dará respuestas claras y concisas a cada una de las cinco cuestiones. El repertorio elegido debe figurar al principio del ejercicio.

CALIFICACIÓN:

La calificación máxima de cada uno de los cinco ejercicios será de 2 puntos.

2. Hallar a y b para que la función sea contínua y derivable en x = 0.

3. Hallar una matriz dos por dos, distinta de I y de -I, cuya inversa coincida con su traspuesta, siendo I la matriz

4. Hallar los puntos cuya distancia al origen es el triple que su distancia a la recta

5. Se lanza tres veces un dado equilibrado de seis caras numeradas del uno al seis. Hallar la probabilidad de que la suma de los resultados sea igual a ocho.

Hallar los posibles puntos extremos de dicha función.

2. Dada la función y = ax⁴ + 3bx³ - 3x² - ax, calcular los valores de a y b sabiendo que la función presenta dos puntos de inflexión, uno en x = 1 y otro en

3. Resolver el sistema

cuando tenga más de una solución.

4. Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto (1, 0, -1), es paralelo a la recta y es perpendicular al plano 2x - y + z + 1 = 0.

5. Las siete bolas blancas y las cinco negras de una urna tienen la misma probabilidad de ser extraídas. Se extraen sucesivamente y sin reemplazamiento dos bolas. Hallar la probabilidad de que sean del mismo color.

El alumno desarrollará uno de los dos repertorios siguientes, y dará respuestas claras y concisas a cada una de las cinco cuestiones. El repertorio elegido debe figurar al principio del ejercicio.

CALIFICACIÓN:

La calificación máxima de cada uno de los cinco ejercicios será de 2 puntos.

Hallar la derivada enésima de

2. Aplicar el teorema del Valor Medio a la función f(x) = Ln x en el intervalo [1, e²] determinando el valor para el que se verifica dicho teorema. (Ln es el logaritmo neperiano).

3. Discutir y resolver, según los valores de l

4. Dadas las rectas

hallar las coordenadas de un punto P que está en recta r’ y que determina con la recta s un plano que contiene a r.

5. Se tiene un dado de seis caras cargado en el que la probabilidad de que salga un número es inversamente proporcional al número. Calcular la probabilidad de que al lanzar el dado salga un múltiplo de 2.

Hallar su única asíntota y calcular los puntos de corte de la gráfica de f(x) con la asíntota, si es que existen.

2. Descomponer el número 100 en dos sumandos tales que el doble del cuadrado del primero más tres veces el cuadrado del segundo sea mínimo.

3. Se sabe (no es necesario que lo compruebe) que la matriz

verifica la igualdad A² = A + I, siendo I la matriz identidad. Calcular A^-1 y A⁴.

4. Dados los planos

p: mx + y + z = 1

p‘: x + my + z = 1

p": x + y + mz = 1

estudiar la posición relativa de los mismos según los valores de m.

5. En una urna con 3 bolas blancas y 4 bolas negras se extraen, con reemplazamiento, 4 bolas. Hallar la probabilidad de que ninguna sea blanca.

El alumno desarrollará uno de los dos repertorios siguientes, y dará respuestas claras y concisas a cada una de las cinco cuestiones. El repertorio elegido debe figurar al principio del ejercicio.

CALIFICACIÓN:

La calificación máxima de cada uno de los cinco ejercicios será de 2 puntos.

2. Calcular la integral

3. Discutir el siguiente sistema según los valores de l , y resolverlo cuando sea posible

4. Determinar los valores de los parámetros a y b, para que las rectas

5. Se toman tres cartas de una baraja de cuarenta (cuatro palos numerados de uno al diez). Hallar la probabilidad de que salga el as de oros.

Calcular F’(x).

2. Estudiar para qué valores de a las funciones

son continuas.

3. Determinar para qué valores del parámetro l, los siguientes sistemas tienen el mismo conjunto de soluciones:

4. Determinar un punto P de la recta r : que equidiste de los planos

p : x + y + z = -3, y s :

5. Se lanza una moneda equilibrada. Si sale cara, se sigue el juego sacando una bola de una bolsa que contiene 12 bolas numeradas del uno al doce y si sale cruz, se saca una bola de otra bolsa que contiene cuatro bolas numeradas del uno al cuatro.

a) Describir el espacio muestral que expresa todos los posibles resultados de lanzar la moneda y sacar la bola de la bolsa correspondiente.

b) Hallar la probabilidad de que en la bola extraída figure un número par o mayor que cuatro.

El alumno desarrollará uno de los dos repertorios siguientes, y dará respuestas claras y concisas a cada una de las cinco cuestiones. El repertorio elegido debe figurar al principio del ejercicio.

CALIFICACIÓN:

La calificación máxima de cada uno de los cinco ejercicios será de 2 puntos.

ƒ(x) = |2x–3| – 7, -2 x 5?

2. Determinar el volumen generado al girar respecto al eje OX (eje de abscisas) la región acotada por las gráficas de las funciones ƒ(x) = x² y g(x) = 2x.

3. Sea A la matriz . Hallar Aⁿ, siendo n un número natural arbitrario.

4. Hallar la distancia entre las rectas r y s, siendo:

5. La urna A contiene tres bolas blancas y dos negras y en la urna B hay dos bolas blancas y cinco negras. Se toma al azar una bola de A y se introduce, sin mirarla, en B. A continuación se extraen sin reemplazamiento dos bolas de B. Hallar la probabilidad de que ambas sean blancas.

2. Dibujar la gráfica de la función

3. Indicar para qué valores de a tiene solución única el sistema:

y resolverlo para a = 2.

4. Hallar la intersección de la recta r, determinada por los puntos A = (1,6,3) y B = (2,6,0) con el plano:

p : x - y + 3z = 2.

5. Se toman dos cartas de una baraja de cuarenta (cuatro palos numerados del uno al diez). Calcular la probabilidad de que las dos sean del mismo número o del mismo palo.